一次独立
一次独立の例
は一次独立である。
また、これら2つのベクトルを 回転させた も一次独立である。簡単に言えば、あるベクトル(点)を作る の組み合わせがひとつしかないものであり、単位ベクトルに限られるものではない。
線型写像
例
平面上の座標 を原点中心に だけ回転させる写像 について、原点 のほか を頂点とする平行四辺形を考え、これを回転させると であることが直感的にわかる。また、回転させてもベクトルの大きさ(距離)は変わらないので、 となり は線形写像となる。
の大きさを として 、 の表現行列を とおくと、
が成り立つ必要がある。 の値を求めるために、加法定理を思い出してみる。
であるので、
となる。両辺を見比べることで、 であることがわかるので、
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ となる。 # 線形写像ってどこで使われているの？ コンピュータサイエンスでもよく使われていて、色変換ではR, G, Bの画素値を操作して明るくしたりコントラストを強調したり、色相を回転させたり(!?)するときにも使われている。 ## 並行移動 座標 $(x, y)$ にある点を $(x + x_t,\ y + y_t)$ に移動させることを考える。2x2 の行列による変換は視察により、\begin{pmatrix} \frac{x + x_t}{x} & 0 \ 0 & \frac{y + y_t}{y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vphantom{\frac{x + x_t}{x}} x \ \vphantom{\frac{y + y_t}{y}} y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vphantom{\frac{x + x_t}{x}} x + x_t \ \vphantom{\frac{y + y_t}{y}} y + y_t \end{pmatrix}
が考えられるが、これは $x \ne 0$ のときに限られるので汎用性がない。そこで 3x3 を考えると\begin{pmatrix} 1 & 0 & x_t \ 0 & 1 & y_t \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + x_t \ y + y_t \ 1 \end{pmatrix}
となるので、1次元多くなるがうまく辻褄を合わせることができる。もちろん3次元の場合には同様に 4x4 行列となる。 ## なにが嬉しいのか？ 行列による変換は複数の値を同時に計算できることが強みで、ここで複数の点 $(x_0, y_0), \cdots, (x_n, y_n)$ があったときに、\begin{pmatrix} 1 & 0 & x_t \ 0 & 1 & y_t \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_0 & x_1 & \cdots & x_n \
y_0 & y_1 & \cdots & y_n \
1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
x_0 + x_t & x_1 + x_t & \cdots & x_n + x_t \
y_0 + y_t & y_1 + y_t & \cdots & y_n + y_t \
1 & 1 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0.213 + 0.787\cos(H) - 0.213\sin(H) & 0.715 - 0.715\cos(H) - 0.715\sin(H) & 0.072 - 0.072\cos(H) + 0.928\sin(H) \
0.213 - 0.213\cos(H) + 0.143\sin(H) & 0.715 + 0.285\cos(H) + 0.140\sin(H) & 0.072 - 0.072\cos(H) - 0.283\sin(H) \
0.213 - 0.213\cos(H) - 0.787\sin(H) & 0.715 - 0.715\cos(H) + 0.715\sin(H) & 0.072 + 0.928\cos(H) + 0.072\sin(H)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} R \ G \ B \end{pmatrix}