1-4. 余因子行列

余因子行列の定理

$n$ 次行列 $A$ に対し

$A\text{Cof}(A)=(\text{det}A)E$

が成り立つ。

これの証明のために、まずは $A\text{Cof}(A)$ の $(i,j)$ 成分について考えてみる。$AB$ の $(i,j)$ 成分は ${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$ なので、$i=j$ のときに $A_{ij}=A_{ji}$ であることに注目すると、各成分は

$$(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}\text{det}{A}_{i1}+(-1{)}^{i+2}{a}_{i2}\text{det}{A}_{i2}+\cdots +(-1{)}^{i+n}{a}_{in}\text{det}{A}_{in}=\text{det}A$$

と表現できる。これは式(1.23)そのものである。わかりやすく書けば、

$$A\text{Cof}(A)=\left(\begin{array}{cccc}\text{det}A& \square & \cdots & \square \\ \square & \text{det}A& \cdots & \square \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \square & \square & \cdots & \text{det}A\end{array}\right)$$

となる。まだ考えていない $i\ne j$ の部分に関しては $\square$ で表してある。

次に $i\ne j$ のときについて考えみる。各成分は $(-1{)}^{i+j}{a}_{i1}\text{det}{A}_{ji}+\cdots +(-1{)}^{i+j}{a}_{in}\text{det}{A}_{jn}$ となるので、$i$ 行目の成分に $j$ 行目の余因子を掛けたものを足し合わせていることになる。式をわかりやすくするには、${\tilde{a}}_{jk}=(-1{)}^{j+k}\text{det}{A}_{jk}$ とすれば、

$a_{i1}{\tilde{a}}_{j1}+a_{i2}{\tilde{a}}_{j2}+\cdots +a_{in}{\tilde{a}}_{jn}$

とできる。わかりやすさのために、具体例として次のような $3\times 3$ の行列があったとする。

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$ ここで $i = 1,\ j = 2$ の場合(1行目の成分と2行目の余因子)、

\tilde{a}{21} = - \begin{vmatrix} a{12} & a_{13} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},\ \
\tilde{a}{22} = + \begin{vmatrix} a{11} & a_{13} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix},\ \
\tilde{a}{23} = - \begin{vmatrix} a{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}

$$であり、$$

\begin{aligned}
& a_{i1}\tilde{a}{j1} + a{i2}\tilde{a}{j2} + \cdots + a{in}\tilde{a}_{jn} \ \
= &

• a_{11} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

• a_{12} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}

• a_{13} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \
  = & - a_{11}a_{12}a_{33} + a_{11}a_{13}a_{32} + a_{12}a_{11}a_{33} - a_{12}a_{13}a_{31} - a_{13}a_{11}a_{32} + a_{13}a_{12}a_{31} \
  = & \ 0
  \end{aligned}

となる。 振り返って $A$ と余因子 $\tilde{a}_{21}, \tilde{a}_{22}, \tilde{a}_{23}$ を見比べてみると、余因子では $a_{2k}$ はまったく使用されていないことから、$a_{1k}$ で置き換えても同じことである。そうすると同じ行が含まれることになるので、その行列式の値は $0$ となる。