ユニタリ行列

例1.12

$A$ がユニタリ行列のとき $A A^{*} = E$ より、

det (A A^{*}) = det A \cdot det^{t} (\overline{A}) = det A \cdot det \overline{A} = det A \cdot \overline{det A} = ∣ det A ∣^{2} = 1

よって $∣ det A ∣ = 1$ になるが、 $det^{t} (\overline{A})$ を $det \overline{A}$ にできるのは転置しても行列式の値は変わらないからである。さらに行列式は和と積の組み合わせで表現できることと、複素共役の性質 $\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}$ や $\overline{a \cdot b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ があるので $det \overline{A}$ から $\overline{det A}$ とできる。

複素共役の性質

$x = a + bi, y = c + d i$ とすると、

\overline{x + y} = \overline{(a + c) + (b + d) i} = (a + c) - (b + d) i = (a - bi) + (c - d i) = \overline{x} + \overline{y} \overline{x \cdot y} = \overline{(a c - b d) + (a d + b c) i} = (a c - b d) - (a d + b c) i = (a - bi) (c - d i) = \overline{x} \cdot \overline{y}

なので、複素数のまま計算して複素共役にしても、複素共役で計算しても結果は同じになる。

直行行列・ユニタリ行列

定義1.25 (前編)

$f$ の表現行列を $A = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] = [a_{ij}]$ とすると、ベクトル $x$ と $y$ は、

x y = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n} = x_{1} 10 ⋮ 0 + x_{2} 01 ⋮ 0 + \dots + x_{n} 00 ⋮ 1 = y_{1} e_{1} + y_{2} e_{2} + \dots + y_{n} e_{n} = y_{1} 10 ⋮ 0 + y_{2} 01 ⋮ 0 + \dots + y_{n} 00 ⋮ 1

と表現することができる。これらの値を直交変換の式に当てはめてると、 $f$ は線型写像 $f (a) = A a$ なので、

(f (x), f (y)) = (x_{1} A e_{1} + x_{2} A e_{2} + \dots + x_{n} A e_{n}, y_{1} A e_{1} + y_{2} A e_{2} + \dots + y_{n} A e_{n}) = (x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n}, y_{1} a_{1} + y_{2} a_{2} + \dots + y_{n} a_{n}) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n x_{i} \overline{y_{j}} (a_{i}, a_{j})

となる( $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ と $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ はスカラーである点に注意)。2段目の変換は、

A e_{i} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} δ_{1 i} δ_{2 i} ⋮ δ_{ni} = δ_{1 i} a_{1} + δ_{2 i} a_{2} + \dots + δ_{ni} a_{n}

であるからで、 $i = 1$ のときの例を出して、もっとわかりやすく書けば、

A e_{1} = a_{11} a_{12} ⋮ a_{1 m} a_{21} a_{22} ⋮ a_{2 m} \dots \dots ⋱ \dots a_{n 1} a_{n 2} ⋮ a_{nm} 10 ⋮ 0 = a_{11} + a_{12} + \dots + a_{1 m} = a_{1}

なので、 $A e_{i} = a_{i}$ とできる。そしてこれは内積を展開した形と等しいので3段目を得る。

定義1.25 (後編)

前編の結果が直交変換となるには以下の式

(f (x), f (y)) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n x_{i} \overline{y_{j}} (a_{i}, a_{j}) = i = 1 \sum n x_{i} \overline{y_{i}} = (x, y)

を満たす必要があるが、視察により、 $i = j$ のときにのみ $x_{i} \overline{y_{j}}$ だけが残ればいいので、 $(a_{i}, a_{j}) = δ_{ij}$ である必要があるが、内積の定義より

(a_{i}, a_{j}) = k = 1 \sum n a_{k i} \overline{a_{k j}} (= δ_{ij}) (1.51)

となる。これを $A B$ の内積の定義と見比べてみる。 $B = A^{*} =^{t} (\overline{A})$ であれば、

A B = [k = 1 \sum n a_{k i} b_{j k}] = [k = 1 \sum n a_{k i} \overline{a_{k j}}] = A A^{*}

とできるが、式1.51は $A A^{*} = E$ を示している。

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