1-7. 固有値・固有ベクトル

式1.54

$A\mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}$ の両辺の形は、

$$A\mathbf{a}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right),\lambda \mathbf{a}=\lambda \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$$

となる。式変形して、

$$\begin{array}{rl}A\mathbf{a}-\lambda \mathbf{a}& =EA\mathbf{a}-\lambda E\mathbf{a}\\ & =(EA-\lambda E)\mathbf{a}\\ & =(A-\lambda E)\mathbf{a}=0\end{array}$$

が成り立つ。もし $(A-\lambda E)\mathbf{a}$ に逆行列 $((A-\lambda E)\mathbf{a}{)}^{-1}$ があれば左からそれをかけることで $\mathbf{a}=0$ を得るが、これは定義1.28に矛盾する。したがって $A-\lambda E$ の逆行列は存在しない。